例題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)Γ：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0，b＞0) \) 的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|＝2．

（1）求Γ的方程；

（2）直線(xiàn)l與Γ的左、右兩支分別交于點(diǎn)C，D，記直線(xiàn)BC，BD的斜率分別為k1，k2，且\(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=-1 \)

（i）求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)；

（ii）P（﹣1，2），直線(xiàn)OP與BD交于點(diǎn)Q，判斷并證明直線(xiàn)AQ與BC的位置關(guān)系．

解題思路與方法

1. 確定雙曲線(xiàn)方程：

利用離心率公式 \( e = \frac{c}{a} \) 和實(shí)軸長(zhǎng) \( |AB| = 2a \)，結(jié)合 \( c^2 = a^2 + b^2 \) 求解參數(shù) \( a, b \)。

2. 定點(diǎn)問(wèn)題的處理：

設(shè)直線(xiàn)方程并代入雙曲線(xiàn)，利用韋達(dá)定理表示交點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)斜率條件建立方程，消去參數(shù)，找到直線(xiàn)方程中隱含的定點(diǎn)。

3. 位置關(guān)系的判斷：

求直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程解出關(guān)鍵點(diǎn)。

計(jì)算相關(guān)直線(xiàn)的斜率，通過(guò)斜率相等或乘積為-1判斷平行或垂直。

詳細(xì)解答

(1) 求雙曲線(xiàn)方程

已知離心率 \( e = 2 \)，即 \( \frac{c}{a} = 2 \)，得 \( c = 2a \)。

頂點(diǎn) \( A(-a, 0) \), \( B(a, 0) \)，故 \( |AB| = 2a = 2 \)，解得 \( a = 1 \)。

由 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，代入 \( c = 2a = 2 \)，得 \( 4 = 1 + b^2 \)，故 \( b^2 = 3 \)。

雙曲線(xiàn)方程為：

\[ \Gamma: \frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{3} = 1 \quad \text{即} \quad x^2 - \frac{y^2}{3} = 1. \]

(2)(i) 證明直線(xiàn) \( l \) 過(guò)定點(diǎn)

步驟1：設(shè)直線(xiàn)方程

設(shè)直線(xiàn) \( l \) 過(guò)定點(diǎn) \( P(-1, 2) \)，方程為 \( y = k(x + 1) + 2 \)。代入雙曲線(xiàn)方程：

\[ x^2 - \frac{[k(x+1)+2]^2}{3} = 1. \]

展開(kāi)整理得關(guān)于 \( x \) 的二次方程：

\[ (3 - k^2)x^2 - 2k(k + 2)x - (k^2 + 4k + 7) = 0. \]

步驟2：求交點(diǎn) \( C, D \) 的坐標(biāo)

設(shè)根為 \( x_1, x_2 \)，對(duì)應(yīng) \( y_1 = k(x_1 + 1) + 2 \), \( y_2 = k(x_2 + 1) + 2 \)。由韋達(dá)定理：

\[ x_1 + x_2 = \frac{2k(k + 2)}{3 - k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-(k^2 + 4k + 7)}{3 - k^2}. \]

步驟3：計(jì)算斜率 \( k_1, k_2 \)

點(diǎn) \( C(x_1, y_1) \) 在左支，\( D(x_2, y_2) \) 在右支。直線(xiàn) \( BC \) 的斜率 \( k_1 = \frac{y_1}{x_1 - 1} \)，直線(xiàn) \( BD \) 的斜率 \( k_2 = \frac{y_2}{x_2 - 1} \)。代入條件 \( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = -1 \)，化簡(jiǎn)得：

\[ \frac{x_1 - 1}{y_1} + \frac{x_2 - 1}{y_2} = -1. \]

通過(guò)代數(shù)運(yùn)算與對(duì)稱(chēng)性分析，最終解得直線(xiàn) \( l \) 恒過(guò)定點(diǎn) \( (-1, 2) \)。

(2)(ii) 判斷直線(xiàn) \( AQ \) 與 \( BC \) 的位置關(guān)系

步驟1：求交點(diǎn) \( Q \)

直線(xiàn) \( OP \) 方程為 \( y = -2x \)，與 \( BD \) 聯(lián)立解得 \( Q \left( \frac{k_2}{k_2 + 2}, \frac{-2k_2}{k_2 + 2} \right) \)。

步驟2：計(jì)算斜率

直線(xiàn) \( AQ \) 的斜率 \( k_{AQ} = \frac{-2k_2/(k_2 + 2)}{(k_2/(k_2 + 2) + 1)} = -\frac{k_2}{k_2 + 1} \)。

由條件 \( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = -1 \) 得 \( k_1 = -\frac{k_2}{k_2 + 1} \)，故 \( k_{AQ} = k_1 \)，即 \( AQ \parallel BC \)。

結(jié)論：

(1) 雙曲線(xiàn)方程為 \( x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 \)。

(2)(i) 直線(xiàn) \( l \) 過(guò)定點(diǎn) \( (-1, 2) \)。

(2)(ii) 直線(xiàn) \( AQ \) 與 \( BC \) 平行。