利用圖形旋轉(zhuǎn)解決中考幾何的部分幾何題目
來(lái)源：好師來(lái)一帆
中考數(shù)學(xué)的幾何題目越來(lái)越靈活了，其中利用旋轉(zhuǎn)來(lái)解決的題目也比較多，部分題目也有一定的難度。好師來(lái)學(xué)科頻道總結(jié)了利用圖形旋轉(zhuǎn)?？嫉脑囶}類型，有需要的網(wǎng)友可以進(jìn)行參考。
圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的常見類型
利用圖形旋轉(zhuǎn)解決幾何問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)中常見的題型主要包括以下幾類：
1. 圖形的全等證明：通過(guò)旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形，使其與另一個(gè)圖形重合，從而證明兩個(gè)圖形全等。這種題型通常涉及到三角形或多邊形的全等證明，需要學(xué)生識(shí)別出圖形之間的相似性，并理解如何通過(guò)旋轉(zhuǎn)操作來(lái)實(shí)現(xiàn)全等。
2. 圖形的對(duì)稱性：這類題目考察學(xué)生對(duì)圖形對(duì)稱性的理解和運(yùn)用。通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形來(lái)找出其對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，或者判斷兩個(gè)圖形是否關(guān)于某條直線對(duì)稱。
3. 圖形的面積計(jì)算：在某些情況下，通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形可以簡(jiǎn)化面積的計(jì)算。例如，將一個(gè)不規(guī)則圖形旋轉(zhuǎn)后與另一個(gè)圖形合并，形成一個(gè)更容易計(jì)算面積的規(guī)則圖形。
4. 圖形的組合與重構(gòu)：這類題目要求學(xué)生通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移等操作將給定的圖形組合成一個(gè)新的圖形，或者將一個(gè)復(fù)雜圖形分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形。這需要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用圖形變換的知識(shí)。
5. 坐標(biāo)系中的圖形變換：在坐標(biāo)系中，通過(guò)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究圖形的變化。這類題目通常涉及到點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)公式，需要學(xué)生能夠根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度和中心計(jì)算出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)。
6. 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題：這類題目可能涉及到圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特殊位置或性質(zhì)，如旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的某個(gè)瞬間圖形滿足特定的條件（如面積最大、周長(zhǎng)最小等）。
典型例題賞析：
綜合與探究
【問(wèn)題背景】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．
12．如圖，△ABC，△ADE均為頂角為42°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，圖中的哪兩個(gè)三角形可以通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)而相互得到？ |
【初步探究】
（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在△ABC與△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：BD＝CE．
【類比探究】
（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F分別是CD，BC上的點(diǎn)，且DE＝1．連接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng)．
【深入探究】
（3）如圖3，D，P是等邊△ABC外兩點(diǎn)，連接BD并取BD的中點(diǎn)M，且∠APD＝120°，∠MPC＝60°．試猜想PA與PD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【拓展應(yīng)用】
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，AD＝CD，
，
，請(qǐng)直接寫出BC的長(zhǎng)．
參考答案：
（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，如圖：
∴DE＝BG＝1，AE＝AG，∠DAE∠BAG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠C＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF＝EF，
設(shè)BF＝x，則EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，
∴EF2＝CF2+CE2，即（x+1）2＝（3﹣x）2+4，
解得x＝
，
∴BF＝
；
（3）解：PA＝PD，延長(zhǎng)PM至F，使得PF＝PC，連接CF，BF，如圖：
∵∠MPC＝60°，
∴△PFC是等邊三角形，
∴CF＝CP，∠FCP＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝60°，
∴∠BCF＝∠ACP，
∴△BCF≌△ACP（SAS），
∴PA＝BF，∠APC＝∠BFC，
∵∠APF＝∠APC﹣∠CPF＝∠APC﹣60°，
∴∠MPD＝360°﹣∠APD﹣∠APF＝360°﹣120°﹣（∠APC﹣60°）＝300°﹣∠APC，
∵∠MFP＝360°﹣∠PFC﹣∠BFC＝360°﹣60°﹣∠BFC＝300°﹣∠BFC，
∵APC＝∠BFC，
∴∠MPD＝∠MFB，
∵M是BD的中點(diǎn)，
∴BM＝DM，
∵∠PMD＝∠FMB，
∴△DPM≌△BFM（AAS），
∴PD＝BF，
∴PA＝PD；
（4）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD，連接BE，CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)G，如圖：
∵DE⊥DB，∠ADC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∵∠CDE+∠BDC＝∠BDE，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADB，
∵CD＝AD，DE＝BD，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝2
，∠CED＝∠ABD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠CED+∠CBD＝60°，
根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠BCE＝∠BCG+∠ECG＝∠CBD+∠BDC+∠CDE+∠CED＝∠CBD+∠BDE+∠CED＝60°+90°＝150°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝
CE＝，CF＝
＝3，
∵∠BDE＝90°，DE＝BD＝
，
∴BE＝
，
∴BF＝
＝
＝11，
∴BC＝BF＝CF＝11﹣3＝8．
本題目類型的解題思路：
1. 利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系：在初步探究中，通過(guò)觀察兩個(gè)三角形的相似性（如頂角相同、邊長(zhǎng)相等），考慮通過(guò)旋轉(zhuǎn)操作使一個(gè)三角形與另一個(gè)重合，從而證明它們?nèi)然蛘页鏊鼈冎g的關(guān)系。
2. 特殊角度一般：在類比探究中，雖然給定的角度是45°，但解題時(shí)可以將這個(gè)特殊角度視為一般情況，即不依賴于特定的角度值，而是利用角度的性質(zhì)（如45°是直角的一半）來(lái)進(jìn)行推理。
3. 利用幾何性質(zhì)進(jìn)行推理：在深入探究中，通過(guò)觀察已知的幾何條件（如等邊三角形、中點(diǎn)、特定角度等），結(jié)合幾何學(xué)的基本定理和性質(zhì)（如等邊三角形的性質(zhì)、中線定理等），來(lái)推導(dǎo)未知量之間的關(guān)系。
4. 直接寫出結(jié)果：在拓展應(yīng)用中，題目要求直接寫出結(jié)果，這意味著需要快速識(shí)別出圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵關(guān)系，然后利用已知信息和幾何知識(shí)直接計(jì)算出答案，而不是逐步展示完整的推導(dǎo)過(guò)程。
綜上所述，這類型題目的解題思想與思路主要包括：觀察圖形的相似性和對(duì)稱性，利用旋轉(zhuǎn)和全等的關(guān)系；將特殊角度一般化，利用角度的性質(zhì)進(jìn)行推理；利用幾何性質(zhì)進(jìn)行推理，以及快速識(shí)別關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵關(guān)系，直接寫出結(jié)果。