該套試題是山東大學(xué) 2025 年強基計劃數(shù)學(xué)試題，共 8 道題，涵蓋對數(shù)、數(shù)列通項、三角函數(shù)、解三角形、排列組合、橢圓性質(zhì)、函數(shù)證明等多個知識點。題目注重知識綜合應(yīng)用與邏輯推理，如通過對數(shù)關(guān)系結(jié)合整數(shù)條件求差值、利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項、借助三角恒等式求三角函數(shù)值等，同時涉及函數(shù)凸性證明等較具深度的內(nèi)容，全面考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題能力。

1、已知$a,b,c,d \in \mathbb{Z}_{+}$，有$\log_{a}b = \frac{3}{2}$，$\log_{c}d = \frac{5}{4}$，$a - c = 9$，求$b - d$的值。

2、已知數(shù)列$\{a_n\}$，有$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{2a_n}{3a_n + 1}$，求通項$a_n$。

3、已知$x,y \in \mathbb{R}$，$\sin x + \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos x + \cos y = \frac{\sqrt{6}}{2}$，求$\sin(x + y)$的值。

4、在$\triangle ABC$中，$\tan A = \frac{1}{2}$，$\tan B = \frac{1}{3}$，最長邊的邊長為1，求最短的邊長。

5、將10個不同的球放入編號1，2，3的3個盒子，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少于盒的編號，求放法種數(shù)。

6、已知橢圓$C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，$A,B$為橢圓上兩點，$O$為原點，有$OA \perp OB$，求$S_{\triangle ABO}$最小值。

7、已知$n \in \mathbb{Z}_{+}$，$k_1,k_2,\cdots,k_n \in \mathbb{R}$，滿足對$\forall x \in \mathbb{R}$，有$k_1\cos x + k_2\cos 2x + \cdots + k_n\cos nx = 0$恒成立，證明：$k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$。

8、設(shè)$f(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，且對$\forall \lambda_1,\lambda_2 \geq 0$，$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$及$\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}$，有

   $$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$$

9、對$\forall \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \geq 0$（$n \geq 2$，$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1$），及$\forall x_1,x_2,\cdots,x_n \in \mathbb{R}$，證明：

       $$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_n x_n) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) + \cdots + \lambda_n f(x_n)$$

  10、 設(shè)$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$，證明：$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_4) - f(x_3)}{x_4 - x_3}$。