深圳市 2020 年普通高中高三年級線上統(tǒng)一測試
數(shù)學(xué)（理科）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合A?{0，1，2，3}，B?{x|x2?2x?3?0}，則A
A．(?1,3) | B．(?1,3] | C．(0,3) | D．(0,3] |
2．設(shè)z?2?3i，則z的虛部為
3．某工廠生產(chǎn)的30個零件編號為01，02，…，19，30，現(xiàn)利用如下隨機數(shù)表從中抽取5個進行檢
測.若從表中第1行第5列的數(shù)字開始，從左往右依次讀取數(shù)字，則抽取的第5個零件編號為
34 57 07 863604 68 9608 2323 45 7889 0784 42 12533125 30 07 3286 |
32 21 18 342978 64 5407 3252 42 0644 3812 23 43567735 78 90 5642 |
A．25B．23C．12D.07
4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2?3，a5?9，則S6為
A．36 | B．32 | C．28 | D.24 |
5．若雙曲線x?y?（a?0，b?0）的一條漸近線經(jīng)過點(1,?2)，則該雙曲線的離心率為
a2b21
A．3 | B．5 2 | C．5 | D.2 |
6．已知tan???3，則sin 2(??π)?
4
A．3 5 | B．?3 5 | C．4 5 | D．?4 5 |
7．(x?2)7的展開式中x3的系數(shù)為
x
A．168 | B．84 | C．42 | D.21 |
8．函數(shù)f?x??ln | e2x?1|?x的圖像大致為
A |
B |
C |
D |
9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球表面積為
10．已知動點
（第9題圖）
在以F，F為焦點的橢圓x2?y?上，動點N在以為圓心，半徑長為|MF|
M1241M1
的圓上，則|NF2|的最大值為
11．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點，則
A．AB?AC?3HM?3MO | B．AB?AC?3HM?3MO |
C．AB?AC?2HM?4MO | D．AB?AC?2HM?4MO |
12．已知定義在[0π]上的函數(shù)f(x)?sin(?x?π)(??0)的最大值為?，則正實數(shù)?的取值個數(shù)
，
463
最多為
A．4 | B．3 | C．2 | D.1 |
二、填空題：本大題共4小題，每小題 5 分，共20分．
?x?2y?2?0
13．若x,y滿足約束條件?x?y?1?0，則z?x?2y的最小值為 ．
?x?1
14．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn?2an?n，則a6???．
15．很多網(wǎng)站利用驗證碼來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.某馬拉松賽事報名網(wǎng)站的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的四個數(shù)字隨機組成，將從左往右數(shù)字依次增大的驗證碼稱為“遞增型
驗證碼”(如0123)，已知某人收到了一個“遞增型驗證碼”，則該驗證碼的首位數(shù)字是1的概率為．
16．已知點M(m,m?1)和點N(n,n?1)(m?n)，若線段MN上的任意一點P都滿足：經(jīng)過點P的
22
所有直線中恰好有兩條直線與曲線C:y?1x2?x(?1?x?3)相切，則|m?n|的最大值為．
2
三 、 解答題： 共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考Th都必須作答．第22、23題為選考題，考Th根據(jù)要求作答．
(一 ) 必考題：共60分．
17．（本小題滿分12分）
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，a2+b2?c2?2S.
（1）求cosC；
（2）若acosB?bsinA?c，a?，求b.
18．（本小題滿分12分）
如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形， 點M，N分別在棱C1C，
A1A上，且C1M?2MC，A1N?2NA.
1
（1）求證：NC1//平面BMD；
（2）若AA?3，AB?2AD?2，?DAB?π，A1
13
求二面角N?BD?M的正弦值.M
NC
AB
（第18題圖）
19．（本小題滿分12分）
已知以F為焦點的拋物線C:y2?2px(p?0)過點P(1,?2)，直線l與C交于A，B兩點，M為
AB中點，且OM?OP??OF.
（1）當(dāng)??3時，求點M的坐標；
（2）當(dāng)OA?OB?12時，求直線l的方程.
20．（本小題滿分12分）
在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：
潛伏期（單位:天） | [0,2] | (2,4] | (4,6] | (6,8] | (8,10] | (10,12] | (12,14] |
人數(shù) | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（1） 
求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān)；
（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概
率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨機調(diào)查了20名患者，
其中潛伏期超過6天的人數(shù)最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？ 附：
P(K2?k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
n(ad?bc)2
K，其中nabcd.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)?ex?aln(x?1).（其中常數(shù)e=2.718 28???，是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若a?R，求函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)；
（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1+e?a)上不單調(diào)，證明：1?1
?a.
aa?1
（二）選考題：共10分．請考Th在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一題計分．
22．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
??x??2
在直角坐標系xOy中，直線C的參數(shù)方程為
?tcos?,
（t為參數(shù)，為傾斜角），
1??y?tsin?,
以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為??4 sin?．
（1）求C2的直角坐標方程；
（2）直線C1與C2相交于E,F兩個不同的點，點P的極坐標為(23,π)，若
2EF?PE?PF，
求直線C1的普通方程．
23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
已知a,b,c為正數(shù)，且滿足a?b?c?1.
（1）???9；
abc
證明：
（2）
ac?bc?ab?abc?8.
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